‘왜’, ‘어떻게’를 가르쳐 주는 사고력 수학

‘왜’, ‘어떻게’를 가르쳐 주는
사고력 수학초등학생을 위한 사고력 수학 네 번째 이야기

글. 재능교육 스스로교육연구소 | 모델. 이운재, 황채민 | 사진. 게티이미지뱅크, 그림스튜디오 | 2016년 9호

2016. 09. 09 817

아이가 제일 먼저 공부하는 것 중 하나가 수학입니다.
한글을 깨우치기 전부터 ‘하나, 둘, 셋’ 숫자 세기를 배우니까요.
공부를 하는 동안 아이를 가장 힘들게 하는 것도 수학입니다.
그래서 부모들은 각종 학원부터 학습교재, 학습도구까지 샅샅이 뒤져가며 아이의 수학 공부를 도와주려 합니다.
그렇지만 아이에게 꼭 필요한 수학 공부가 무엇인지 판단하기는 쉽지 않습니다.

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지금 가장 필요한 것은 뭐? 사고력!

“세정 엄마, 요즘 세정이 수학 뭐 시켜? 수학을 그렇게 잘한다며.”, “지호야, 네 친구들은 수학 학습지 뭐 한대? 학원은 어디 다니는지 좀 물어 봐.”
아이의 수학 공부를 도와주기 위해 부모의 레이더는 쉴 틈이 없습니다. 학부모의 그런 갈증을 파고들며 광고를 하는 학원도 많습니다. 곧바로 점수를 올려준다면서요. 그런데 수학 점수를 단번에 올려 주는 비법이 있을까요? 점수가 반짝 올랐으니 아이의 실력도 확실하게 오른 것일까요? 수학 공부는 그렇게 간단하지 않습니다.
그동안의 수학 교육은 몇 가지 정해진 특수한 기능을 능숙하고 빠르게 적용하는 능력을 기르는 것에 초점을 맞춰 왔습니다. 다시 말해, 공식을 암기해서 빨리빨리 풀 수 있는 방법 위주로 가르쳐 온 것이죠. 공식 몇 가지와 수학적 문제 유형, 접근 방식을 잘 암기해서 다른 사람보다 정확하고 빨리 답을 찾아내는 것을 수학 실력이라고 인정해 왔습니다. 그렇게 공부해 온 아이들의 점수가 높았던 것도 사실입니다.
그렇지만 최근의 수학 교육은 달라졌습니다. 학년이 점점 올라갈수록 실생활과 연계된 교과통합형 문제가 많아졌습니다. 과거의 방식으로 암기한 문제 유형에 따라 연산만 반복학습해 온 아이들은 문제 자체를 이해하지 못해 당황하는 경우가 많습니다. 어떻게 풀어야 할지 갈피를 잡지 못하는 것입니다. 그런 일이 반복되다 보면 점차 수학에 흥미를 잃어버립니다.
지금의 수학 교육이 필요로 하는 것은 ‘수학적 사고력’을 바탕으로 한 실력입니다. 어떤 문제가 주어지든 스스로 사고하고 판단해서 풀어나갈 수 있는 능력이 필요합니다. 결과 중심이 아닌 ‘왜’, ‘어떻게’라는 질문을 스스로 하면서 답을 찾아가는 과정 중심의 접근 방법이 필요한 것입니다. 따라서 최근 수학 교육 방식을 발 빠르게 맞춰 가고 싶다면, 가장 먼저 수학적 사고력에 집중해야 합니다. 수학적 사고력을 기르는 학습이 지금 우리 아이들에게 무엇보다 필요합니다.

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‘수학적 문제해결’ 능력을 키우는 사고력 수학

현재의 수학이 가장 중요하게 여기는 것은 ‘수학적 문제해결’ 능력입니다. 수학적 문제해결이란 문제의 상황을 정확히 이해하고 수학적으로 변환한 다음, 문제를 해결하는 것을 의미합니다. 이때 바탕이 되는 것도 수학적 사고력이죠. 초등학교 저학년 아이들 중에도 노트가 빽빽하도록 수학 문제를 풀며 공부하는 아이들이 있습니다. 이때 덧셈에서 시작하여 뺄셈, 곱셈, 나눗셈까지 단순히 숫자와 연산 기호만 바꾸어 끝없이 계산 문제를 반복학습하는 경우가 많습니다. 하지만 이것은 수학적 문제해결 연습이 아닙니다.
지도를 보고 목적지를 찾아가기 위해서는 지도가 가진 성질과 기호를 이해한 뒤 이를 바탕으로 길을 찾아야 합니다. 만약 학교에서 집까지 가는 길만 열심히 들여다보며 외웠다면 그 길 하나는 잘 찾을 수 있겠죠. 그러나 새로운 길과 새로운 목적지가 주어지면 당황할 것입니다. 지도를 앞에 놓고도 까막눈이 될 수밖에 없습니다.
수학적 문제해결을 위해서도 지도의 성질과 기호를 익히는 것과 같은 과정이 필요합니다. 바로 원리와 개념을 이해해야 하는 겁니다. 지도를 ‘어떻게’ 읽는지를 터득하고 나면, 처음 가는 어떤 곳이라도 지도를 통해 찾을 수 있습니다. 마찬가지로 원리와 개념을 터득하고 나면 처음 보는 문제도 ‘어떻게’ 풀어야 할지 스스로 판단할 수 있습니다.
계산과 암기 위주로 공부한 아이는 새로운 유형의 문항을 접했을 때 자신이 암기한 공식을 잊어버리면 당황해서 금방 포기합니다. 그러나 개념과 원리 이해 위주의 학습을 한 아이는 처음 보는 유형의 문항도 자신이 알고 있는 개념과 원리를 활용해 다양한 방법으로 접근해 봅니다. 그렇게 문제를 해결하고자 끊임없이 시도하는 과정이 쌓여 수학적 사고력도 자라납니다.

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수학 시험 100점,
개념과 원리를 다 이해한 걸까요?

“덧셈, 뺄셈은 자신 있어!” 두세 자리 덧셈과 뺄셈 문제를 척척 푸는 아이가 100점짜리 수학 시험지를 엄마에게 내밀며 자랑하듯 말합니다. 엄마도 아이가 대견합니다. 그런데 이 아이, 정말 덧셈과 뺄셈을 제대로 습득한 것일까요? 원리와 개념을 모두 이해하고 푼 걸까요?
‘수와 연산’은 초등 수학의 기본이 되는 영역입니다. 이 부분이 튼튼하게 다져지지 않으면 학년이 올라가며 점점 어려워지는 수학이라는 거대한 건축물을 쌓아 올리기 힘듭니다. 많은 아이가 초등학교에 들어가기 전부터 연산을 기계적으로 외우고, 빨리 계산하는 연습에 열중하고 있습니다. 이런 아이들은 초등 저학년 수학 성적이 높은 편입니다. 하지만 그 성적이 고학년까지 유지되지 못하는 경우가 많습니다. 왜 그럴까요?
개념과 원리에 대한 이해가 부족하기 때문입니다. 이런 경우 지금은 잘할지 몰라도 문제 유형이 조금만 변형되고 어려워져도 해결하지 못하고 당황합니다. 원리 이해 학습이 이루어져야 새로운 개념도 쉽게 익힐 수 있습니다. 또한 체득한 개념을 바탕으로 상위 개념도 거부감 없이 받아들일 수 있게 됩니다. 덧셈, 뺄셈 개념을 잘 이해한 아이는 곱셈과 나눗셈의 개념도 한결 쉽게 받아들입니다. 이를 바탕으로 주어진 연산들을 역연산할 수도 있고, 숫자들의 관계를 통해 별개의 독립된 연산이 아닌 하나의 융합된 연산을 익힐 수도 있습니다.

수학적 사고력과 문제해결력을 길러 주는 재능스스로수학

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* 단위 넓이를 활용한 직사각형의 넓이 구하기

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* 직사각형의 넓이를 활용한 평행사변형의 넓이 구하기

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* 평행사변형의 넓이를 활용한 삼각형의 넓이 구하기

이런 식으로 원리와 개념을 바탕으로 한 학습을 해 온 아이들은 어떤 문제가 주어져도 해결할 수 있는 힘을 기르게 됩니다. 수학적 사고력이 확장되기 때문입니다. 탄탄하게 개념을 다지고 나면, 그 위에 수학의 단계를 하나씩 쌓아가고 영역을 확장하는 과정이 아이에게는 흥미롭게 다가옵니다. 수학이 재미있어지는 것입니다.
예를 들어 볼까요. 직사각형의 넓이를 구하는 과정을 배울 때 단순히 (직사각형의 넓이)=(가로)×(세로)라는 공식을 암기하고 답을 구하도록 가르친다고 가정해 봅니다. 직사각형의 넓이를 구하는 ‘공식’을 외운 아이는 쉽게 직사각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 하지만 한 변의 길이가 1cm인 정사각형이 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸 있는지 세어 본 다음 도형의 넓이를 구해 보는 과정을 통해 직사각형의 넓이에 대한 원리와 개념을 깨달은 아이는 어떨까요?
직사각형의 넓이가 가로와 세로를 곱한 것이라는 공식을 암기시키는 것이 아니라 단위넓이를 이용하여 직사각형의 넓이를 구하는 과정을 통해 가로와 세로를 왜 곱하는지를 스스로 깨달은 아이는 직사각형의 넓이에 대한 개념 원리를 바탕으로 향후 학습하게 될 평행사변형, 삼각형의 넓이도 쉽게 이해하고, 그 개념을 발전시킬 수 있습니다.
즉 원리 이해 학습을 통해 직사각형 넓이에 대한 개념을 익힌 아이는 이를 바탕으로 학습하지 않은 도형을 분해하고 단위넓이로 나누어 봄으로써 그 원리를 쉽게 추론하여 문제를 해결할 수 있게 되는 것입니다. 이렇듯 원리 이해 학습은 문제해결능력과 수학적 사고력을 키우는 밑거름이 됩니다.

우리 아이 수학적 사고력, 이렇게 키워 주자!

첫째, 문제해결 과정을 설명하게 해 보세요.

개념이나 원리를 자신의 언어로 풀어내는 능력이 중요합니다. 즉, 왜 이러한 답이 나왔는지, 어떻게 해결하여 풀었는지, 다른 방법은 없는지 등의 문제해결 과정에 집중하여야 하는 것이죠. 간단한 문제라도 풀이 과정을 정확히 쓰고 말로 설명하는 습관을 갖게 해 주세요. 그러는 동안 수학적 사고력도 향상됩니다.

둘째, ‘왜’, ‘어떻게’를 먼저 생각하게 하세요.

수학적 사고력은 수학 지식의 단순 암기와 연습을 통해 길러지기보다는 ‘왜’, ‘어떻게’라는 질문을 통해 깊이 있게 생각하는 과정에서 길러집니다. 그런 질문을 안고 수학적 원리와 개념을 통해 문제를 해결해나가며 수학 실력도 자라납니다. 개념을 설명해 주기보다 스스로 깨달을 수 있도록 도와주는 데 힘써 주세요.

셋째, 스몰스텝으로 빈틈없이 채워 주세요.

‘스몰스텝’은 말 그대로 ‘작은 걸음’을 뜻합니다. 학습 목표를 세분화하여 조금씩 올라가되 확실하게 이해하고 넘어가는 것이 중요합니다. 그렇다고 같은 것을 무조건 반복학습하는 것은 금물입니다. 학습 목표를 단순한 것에서 복잡한 것으로, 구체적인 것에서 추상적인 것으로, 쉬운 것에서 어려운 것으로 계열화하여 진행함으로써 아이가 자신이 깨닫지 못하는 사이 최종 학습목표까지 도달할 수 있도록 이끌어 주어야 하는 것입니다.
예를 들어 볼까요. 받아올림이 있는 두 자리 수와 한 자리 수의 덧셈을 익힌다고 합시다. 우선 받아올림의 개념을 구체물의 낱개를 열 개짜리 묶음으로 만들어 보는 과정과 반구체물, 수모형을 통한 받아올림 과정으로 세분화하여 충분히 이해하게 해 주세요. 그런 다음 받아올림이 있는 덧셈을 풀게 하면 아이는 단계적으로 익혔던 과정을 떠올리며 스스로 문제를 풀 수 있을 뿐만 아니라 이를 응용해 자릿수가 더 많은 덧셈도 풀게 됩니다. 즉, 하나의 학습 목표를 세분화된 여러 단계로 나누어 학습함으로써 자신도 모르는 사이에 필요한 개념과 원리를 쉽게 터득할 수 있게 되는 것입니다.

수학적 사고력과 문제해결력을 길러 주는 재능스스로수학

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* 받아올림 개념 (구체물)

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* 받아올림 개념 (구체물)

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* 받아올림 개념 (반구체물)

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* 받아올림 개념 (수모형)

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* 받아올림 개념 (덧셈식 적용)

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* 받아올림 개념을 활용한 덧셈

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