우리 아이, 연산 기계로 만들 것인가?

우리 아이,
연산 기계로 만들 것인가?초등학생을 위한 사고력 수학 세 번째 이야기

글. 박만구(서울교육대학교 수학교육과 교수) | 모델. 강준혁, 이예서 | 사진. 게티이미지뱅크, 그림스튜디오 | 2016년 8호

2016. 08. 12 617

우리 아이들이 성인이 되어 살아갈 세상은 어떤 모습일까요?
아마 지금 우리가 상상할 수 있는 것을 훌쩍 뛰어넘는 모습일 것입니다.
농경 사회를 살아가기 위한 교육, 산업화 사회를 살아가기 위한 교육, 정보화 사회를 살아가기 위한 교육은 달라야 합니다.
그렇다면 지금의 교육은 어떤 모습이죠?

최근 ‘포켓몬 고’라는 게임이 돌풍을 일으키고 있습니다. 우리가 살고 있는 실생활 현장과 모바일 게임이 연계되는 전혀 새로운 게임입니다. 이처럼 지금도 하루가 다르게 놀라운 변화들이 쏟아지고 있는데, 우리 아이들이 살아갈 세상이라면 더 많은 정보와 첨단 공학의 활용이 보편화되어 있겠죠? 그런 사회라면 수학 교육도 달라져야 하지 않을까요?

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수학의 패러다임이 달라지고 있다

미래 사회에서 계산은 모두 기계가 하게 될 것입니다. 하지만 수학의 중요성은 더 커집니다. 이런 사회 속에서 경쟁력을 갖기 위해서는 그에 맞는 수학을 배워야 합니다. 단순히 주어진 식을 계산하는 것뿐만 아니라, 사회에서 일어나는 비정형적인 현상을 수학적인 눈으로 바라보고, 수학적 사고를 활용하여 효과적으로 해결해 가는 능력을 키워야 합니다. 바로 수학적 사고력을 키워야 하는 것입니다.
이 모든 것은 수학을 처음 배우는 나이부터 시작해야 합니다. 어렸을 때부터 자신의 수준에 맞는 문제를 접하면서 작은 성공을 경험하도록 하고, 여러 상황을 해결하면서 ‘수학의 힘’을 더 많이 쌓을 수 있게 도와야 할 것입니다. 수학을 공부하는 과정 속에서 보다 넓은 관점으로 세상과 인간을 이해하도록 해야 합니다.

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수학의 대상은 눈에 보이지 않는 추상적인 사고

수학은 다른 교과들과 차별된 특성을 가지고 있습니다. 무엇일까요? 수나 기호로 이루어져 있다는 점에서도 다르지만, 많은 학자가 강조하는 것은 따로 있습니다. 눈에 보이지 않는 ‘추상적인 사고’를 대상으로 한다는 점입니다. 예를 들어, 과학에서 세포 분열이 어떻게 일어나는지를 알아보려면 현미경으로 확대하여 보면 됩니다. ‘아, 세포가 이렇게 분열하는구나!’라고 눈으로 보면서 이해하게 됩니다. 그런데 수학은 눈에 보이지 않습니다. 오직 머릿속에서 일어나는 사고의 과정에 의한 것입니다.
예를 들어, 1+1=2라고 하는 아주 초보적인 연산을 배운다고 합시다. 아주 어린아이에게 이것을 어떻게 지도할 수 있을까요? 아마 많은 부모가 바둑돌 한 개와 그 옆에 또 다른 바둑돌을 보여 주면서 두 개를 한데 모아 둘이 되는 것을 이해시키려고 할 것입니다. 그런데 이렇게 한다고, 어린아이들이 자동적으로 1+1=2라는 사실을 이해하게 될까요? 이것은 어른들의 생각일 뿐, 아이들의 머릿속은 알 수 없습니다.

아이가 1+1=2이라는 수학적 사실을 받아들이기 위해서는 머릿속에서 ‘하나의 단위에 또 다른 하나의 단위를 더하면 두 단위가 된다’는 것을 만들어 내야만 합니다. 다시 말하면 구성해야만 하는 것입니다. 주사기로 액체를 주입하듯이 아이들의 머릿속에 수학적인 지식을 직접 주입할 수는 없습니다. 따라서 교사나 학부모들은 아이가 어떤 생각을 하고 어떻게 반응하는지 세심하게 관찰할 필요가 있습니다.
현 대학입시 제도에서는 수학을 잘하지 못하면서 원하는 좋은 대학을 가기란 쉽지 않습니다. 그렇다고 입시를 앞두고 벼락치기로 공부해 성적을 올릴 수 있는 것도 아닙니다. 수학은 한 단계씩 계단을 올라가듯이 밟아가야 하는 계통성이 강한 과목이므로, 초등학교 때부터 차근차근 공부를 해야 합니다.

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단순 계산이 아니라 사고력

초등학교 때 수학을 잘하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 연산 연습을 열심히 하면 된다고 생각하시나요? 물론 초등학교 수준에서는 기본적인 연산을 익히는 것이 중요합니다. 그러나 과도한 연산 연습은 장기적으로는 수학 학습에 오히려 해가 될 수 있습니다.
현재의 수학에서는 단순히 계산을 하는 것이 주가 되지 않습니다. 오히려 사고력을 기반으로 하는 정형화되지 않은 문제해결이나 논리적인 추론과 증명, 수학적인 기호나 표현을 사용한 의사소통, 그리고 다른 분야와 의미 있는 연결을 하거나 자신의 생각을 다양한 수학적 방법으로 표현하는 것 등을 주요 내용으로 하고 있습니다.

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연산 학습교재, 사고력 수학 앞에 좌절감

그렇지만 아직도 초등학교 저학년이나 중학년 정도까지는 기초적인 연산이 많은 부분을 차지하고 있습니다. 그래서 어린 학생들은 수학하면 ‘계산하는 것’으로 떠올리는 경향이 있습니다. 학부모들도 ‘계산을 잘하면 수학을 잘하게 된다’는 신념을 갖고 있어서 유사한 문제들로 가득 찬 특정 학습교재 등을 지겹도록 풀게 하는 경우가 있는 것 같습니다. 연산을 많이 반복하도록 하면 연산 능력이 향상되는 것은 당연한 일입니다. 그러나 이런 식으로 공부하다 보면, 학생들이 학년이 올라가면서 좌절감을 느낄 수 있습니다. 그동안 익숙하게 풀어 온 틀에 박힌 연산 문제가 아니라, 사고력이 필요한 새로운 수학을 만나게 되기 때문입니다.

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수학을 배우는 이유, 계산이 아니라 사고력

우리는 수학 공부에 대하여 보다 크게 볼 필요가 있습니다. 단지 계산을 하거나 공식을 활용하여 주어진 문제를 푸는 것만이 수학이 아닙니다. 수학을 가르치고 배우는 이유는 세상과 수에 대한 패턴을 이해하기 위한 것입니다. 수학의 눈으로 세상을 이해하려고 했던 수학자이자 수학교육자인 프로이덴탈은 모든 자연현상이나 사회현상을 수학적으로 보고 설명하려고 했습니다. 그는 어린 학생들이 수학을 배우는 것도 이런 맥락에서 강조해야 한다고 주장합니다. 수학은 단순히 계산을 하기 위해 필요한 것만이 아니라 세상을 넓고 깊게 보기 위한 도구입니다. 결국 수학을 잘하기 위하여 중요한 것은 사고력을 키우는 것입니다.
전 세계 수학 교육의 흐름에 영향을 주고 있는 가장 큰 수학 교사 단체인 미국수학교사협의회에서는 수학 교육을 통해 학생들이 문제해결, 추론 및 증명, 의사소통, 연결성, 표현 능력을 배워야 한다고 주장하였습니다. ‘사고력’은 위의 모든 영역에 관계가 되지만 그중에서도 가장 관계가 깊은 것은 ‘추론과 증명’입니다.

초등학교 중학년과 고학년의 규칙성 영역 문제로 자주 나오는 다음 문제를 예로 들겠습니다. “아래와 같이 일정한 규칙으로 나열되어 있는 바둑돌이 있다. 100번째에는 무슨 색의 바둑돌이 놓이겠는가?”라는 문제를 해결하고자 할 때, 학생들은 어떻게 할까요? 직접 그리면서 알아보려고 하는 학생들도 있습니다. 하지만 대부분의 학생들은 어떤 규칙이 있는지 발견하려고 노력할 것입니다.

● ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ···

학생들이 일단 다음과 같이 ‘● ○ ○ ● ● ○ ○ ○’가 계속 반복된다는 사실을 발견하게 되면, 100번째에 오는 바둑돌의 색은 8×12+4=100이므로, 8개의 바둑돌의 패턴이 12번 반복되고, 4번이 더 지나서 100번째 바둑돌은 검은돌임을 쉽게 알 수 있습니다. 이와 같이 추론은 문제를 해결하는 지름길을 제시합니다. 수학의 가장 강력한 힘은 직접 해 보지 않고도 알 수 있다는 것입니다. 보다 고차원의 수학은 가 보지 않은 화성에 정확히 우주선을 거의 오차 없이 보낼 수 있게 하는 것입니다. 학생들도 이런 경험을 통하여 자신의 수준에 맞는 수학의 힘을 경험하도록 해야 합니다.

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과도한 연산 반복, 수학 공부의 독

수학 공부를 하면서 사고력을 키우기 위해 생각해야 할 것은 무엇일까요? 다음의 네 가지 항목에 주목해 보세요.

첫째, 이해를 동반하지 않는 과도한 연산의 반복은 장기적으로 수학 공부에 독이 될 수 있습니다.

학교에서 배우는 수학 내용을 보면 초등학교 저학년과 중학년까지는 수와 연산에 대한 내용이 상대적으로 많은 부분을 차지합니다. 그러나 고학년 이상으로 가면 연산보다는 다른 영역의 비율이 증가합니다. 수학의 대부분은 연산이라고만 생각했던 학생들은 다른 영역의 수학을 접하면서 낯선 수학에 대하여 어려움을 겪게 됩니다. 연산을 잘하는 것은 좋은 것이지만 연산만 잘해서는 수학을 잘할 수 없습니다. 몇 가지 예를 생각해 보겠습니다.

  1. 일부 국가는 기계적인 구구단 연산에 부정적

    예를 들어, 구구단을 아주 능숙하게 외우는 학생은 기계적인 연산을 잘하겠지만 다양한 전략을 사용하여 해결하는 것은 어려워할 수 있습니다. 기계적으로 구구단을 외워서 9×5=45라고 잘 외우는데, 9×6이 얼마인지 미처 외우지 못한 학생은 더 이상 답을 말하지 못합니다. 그런데 9×5가 9+9+9+9+9로 9를 다섯 번 더한 것이고, 9×6는 9를 여섯 번 더한 것이라고 이해한 학생은 9×6은 9×5에 9를 한 번 더 더한 것이라는 사실을 응용하여 9×6은 45에 9를 더한 54라는 답을 얻을 수 있게 됩니다. 물론 구구단의 원리를 이해하면서 외우는 경우는 보다 쉽게 외울 수도 있습니다. 일부 국가에서는 구구단을 외우는 것조차도 더 복잡한 수학을 공부하는 데 좋지 못한 영향을 준다고 생각하여 일부러 외우지 않는 경우도 있습니다.

  2. 도구적 지식이 아닌 관계적 지식으로서의 수학

    또 다른 예로, 직육면체의 가로, 세로, 높이가 각각 5cm, 4cm, 3cm일 때, 부피가 얼마인지 물어보면 대부분의 초등학교 학생들은 5×4×3=60cm3라고 쉽게 답할 것입니다. 그런데 “왜 그것이 부피가 되지?”라고 물어보면 제대로 답하는 학생은 많지 않을 것입니다.

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    이것은 대부분의 학생이 기계적인 계산을 기본으로 하여 직육면체의 부피를 계산만 했지 직육면체의 부피에 대한 개념 이해가 부족해 발생하는 일입니다. 이때 부피를 구하기 위하여 5×4×3으로 계산하는 이유는 직육면체의 부피가 가로, 세로, 높이가 단위 길이(1×1×1)인 작은 단위 정육면체를 쌓아 올린 개수를 의미하기 때문입니다. 수학 교육에서 유명한 학자인 리차드 스켐프가 말한 대로 도구적 지식은 알고 있지만, 관계적 지식이 부족한 학생들에게 교사나 학부모님들은 지식의 관계적인 이해를 쌓을 수 있도록 도와야 할 것입니다.

  3. 반복적인 연산 자극, 뇌 활동 지장, 분노와 스트레스 유발

    요즈음 많이 관심을 갖는 뇌과학의 관점에서 보아도 과도하게 유사 연산을 반복하도록 하는 것은 장기적으로 문제가 많습니다. 뇌에 유사한 자극을 지속적이고 반복적으로 주게 되면 뇌는 활발한 활동을 멈추게 되고, 분노와 스트레스 지수는 높아지게 됩니다(서유헌, 2015). 그리고 과도한 스트레스는 우리 몸의 백혈구 수를 감소시켜서 면역력을 떨어뜨리게 함으로써 질병에 취약하도록 만듭니다. 우리 인간은 자율적인 상태에서 자신이 하고 싶은 일을 할 때, 뇌에서 적절하게 도파민이 생성되어 학습을 지속할 수 있도록 합니다.
    그런데 유사 문제를 지속적이고 과도하게 풀게 하면 연산 능력을 높일지는 몰라도 사고를 요하는 응용문제를 접할 때 더 이상 어려운 문제를 풀려고 시도하지 않게 되는 부작용이 생기게 만듭니다. 실제로 초등학교 시기에 많은 연산 문제의 반복 연습을 하여 어느 정도 수학 성적을 내던 학생이 중학교에 가서 복잡한 수학 문제를 접했을 때 두 손을 드는 것을 흔히 볼 수 있습니다.

  4. 어떻게 연산 능력을 키울 것인가? 자기결정성이 중요

    일정 수준의 기본 연산은 수학 학습을 지속해 가고 수학 자신감에 필수적이라고 할 수 있습니다. 문제는 어떻게 연산 능력을 키우도록 하느냐의 문제입니다. 이에 대해 저명한 심리학자 에드워드 데시는 ‘자기결정성이론’을 주장하였습니다. 자기가 결정한 것은 어떤 동기유발보다 더 큰 힘을 가지고 추진해 갈 수 있다는 주장입니다. 결국 자율적인 공부가 공부를 지속시키는 힘이라는 것이지요. 스트레스를 과도하게 주면서 억지로 연산 훈련을 시키는 것은 수학 공부에 독이 될 수 있습니다.

둘째, 수준에 맞는 수학 공부를 해야 합니다.

흔히 우리나라 학생들 중에는 ‘수포자’가 많다고 합니다. 글자 그대로 수학을 포기한 사람이란 뜻이지요. 초등학교 고학년부터 시작하여 고등학교 3학년에 이르러서는 거의 10명 중 6명이 수포자라는 통계도 있습니다. 그렇다고는 해도 초등학교 1학년 때 수학을 포기한 학생은 거의 없을 겁니다. 학년이 올라가면서 수학을 싫어하게 되고 어려워하면서 포기하는 학생들이 늘어나는 것입니다.
왜 이렇게 많은 수포자가 생기는 것일까요? 교과서의 내용이나 교사의 가르치는 방법에 문제가 있을 수도 있지만, 학생 스스로 좌절감을 경험하면서 수학을 포기하게 되는 경우도 많을 것입니다. 특히 사교육에서는 해당 학년보다 높은 학년의 것을 공부하도록 하는 경우가 많은데, 자신의 능력에 맞지 않는 공부는 도움이 되지 않습니다. 학생의 수준보다 너무 높은 수준의 수학 문제를 공부하는 선행학습은 좌절감을 갖게 하여 수학 공부에 대한 흥미를 앗아갈 수 있습니다. 학생들은 공부할 때 가능한 많은 성공을 경험하도록 하여 수학에 대한 자신감과 긍정적인 태도를 가질 필요가 있습니다.

셋째, 사고력을 향상할 수 있는 적절한 수학 과제를 제시해야 합니다.

초등학교 초기에 단순한 계산 기능을 익히는 것도 중요하지만 보다 중요한 것은 사고력입니다. 즉 수학적으로 생각할 수 있는 힘을 길러야 합니다. 그러면 어떻게 수학 문제가 단순 계산이 되지 않도록 할 수 있을까요? 초등학교 2학년 정도에 배우는 두 자리 수의 덧셈은 대부분 구체적인 두 자리 수를 더하라는 문제를 제시합니다. 예를 들어, 26+35와 같은 식입니다. 이 문제는 일의 자리에서 받아올림이 있는 덧셈으로 이를 기계적으로 학습한 학생들도 잘 풀 수 있을 것입니다. 그런데 이와 유사하지만 보다 많은 생각을 하도록 하는 문제로 다음을 제시할 수 있습니다.

예) 2, 5, 6, 7 네 장의 숫자 카드를 빈 곳에 넣으면서 다음의 물음에 답하시오.

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1) 서로 다른 덧셈을 몇 가지 만들 수 있습니까?
2) 합이 가장 큰 덧셈을 만들어 보시오. 합이 가장 작은 덧셈을 만들어 보시오. 그 이유를 설명해 보시오.

위와 같은 문제가 학생들로 하여금 더 많은 생각을 하게 할 것입니다.
또 다른 문제를 볼까요? 만일 분수의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들이라면 ${2 \over 5}$+${6 \over 7}$을 계산하라는 문제보다 다음과 같이 문제를 제시할 수 있을 것입니다.

예) 2, 5, 6, 7 네 장의 숫자 카드를 빈 곳에 넣으면서 다음의 물음에 답하시오.

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합이 가장 큰 덧셈을 만들어 보시오. 합이 가장 작은 덧셈을 만들어 보시오. 그 이유를 설명해 보시오.

이 경우 분수의 크기를 생각해 보아야 할 것이고, 계산하기 전에 어떻게 분수를 만들어서 더해야 가장 큰 수가 될지 논리적으로 생각해야 합니다. 이와 같이 기계적인 계산이 아닌 다양한 사고를 하면서 연산의 의미를 생각하도록 하는 것이 중요합니다.

넷째, 창의적·융합적 사고를 하게 합니다.

현재 초등학교 수학 교과서는 2015년 9월에 새롭게 개정된 교육과정에 따라서 만들어지고 있으며, 내년 3월이면 초등학교 1, 2학년부터 연차적으로 새로 만든 교과서를 가지고 수학을 공부하게 될 것입니다. 그런데 이번 새 수학과 교육과정에서 강조하고 있는 것 중 하나가 창의·융합으로 앞으로 수학 교육에서도 창의성과 수학과의 연결, 타 교과와의 연결, 그리고 일상생활 문제와의 연결을 강조하게 될 것입니다.
창의성은 연산에서도 생각해 볼 수 있습니다. 37-19의 경우, 대부분 십의 자리에서 받아내림하여 계산을 합니다. 그렇지만 다음과 같이 여러 가지 방법으로 계산해 보도록 하면서 학생 스스로 생각하게 하여 창의성을 키우는 것입니다.

  • 37-19 = 37-20+1 = 17+1 = 18
  • 37-19 = 40-20-3+1 = 18
  • 37-19 = 40-19-3 = 21-3 =18
  • 37-19 = 38-20 = 18
  • 37-19 = 40-22 = 18

융합의 소재는 아주 다양합니다. 어떤 눈으로 보느냐에 따라서 보다 의미 있는 연계를 통하여 수학 이외에 새로운 사실들을 통·융합적으로 공부할 수 있는 기회가 될 것입니다. 그리고 이런 다양한 소재의 활용은 학생들에게 수학 공부를 더 재미있게 느낄 수 있도록 도울 것입니다.

참고 문헌

교육부 (2015). [2015 개정 수학과 교육과정]. 교육부.
서유헌 (2015). [뇌의 비밀]. 서울: 살림출판사.
Freudenthal, H. (1973). [Mathematics as an educational task]. Dordrecht: Reidel.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). [Principles and standards for school mathematics]. Reston, VA: Author.

박만구

박만구는 서울교육대학교 학사(초등교육), 연세대학교 석사(수학교육), 미국 웨스트 체스터 대학교 석사(수학교육), 조지아대학교 박사(수학교육)를 취득했다. 현재는 서울교육대학교 수학교육과 교수로 학생들을 가르치고 있으며, 스토리텔링 개정 교과서 집필 위원으로 교과서를 펴냈다. 한국수학교육학회 및 대한수학교육학회, 초등수학교육학회 등에서 부회장 및 학술위원장을 역임하고 학술논문을 발표했으며, 저서로는 [구성주의와 수학교육], [초등수학교육론], [수학교육평가론] 등이 있다.

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