수학적 사고력에 독이 되는 반복적인 연산 훈련

수학적 사고력에 독이 되는
반복적인 연산 훈련초등학생을 위한 사고력 수학 두 번째 이야기

글. 남미선 | 모델. 변정원, 윤하영 | 사진. 게티이미지뱅크, 그림스튜디오 | 2016년 7호

2016. 07. 15 2066

연산 능력이 수학의 기본인 것은 누구나 인정하는 사실입니다.
하지만 학년이 올라가면서 기본적인 연산 능력과 함께 더 고차원적인 사고력이 요구됩니다.
연산 능력이 뛰어나도 수학적 사고력이 부족한 경우, 수학 점수는 점점 떨어집니다.
연산 능력과 수학적 사고력, 둘은 어떤 관계가 있는 걸까요?

서브이미지

연산 챔피언이 이것도 못 풀어?

“초등학교 입학 전부터 기초 연산 문제집을 풀어서 연산은 눈 감고도 할 정도예요. 그런 애가 고학년이 되니 점점 수학 점수가 떨어지는 거예요. 어떻게 해야 되죠?”
이와 같은 고민을 털어놓는 학부모를 자주 만납니다. 초등학교 저학년 아이들 중에는 기초 연산 학습교재를 몇 년간 풀어 온 아이가 많습니다. 이런 아이들은 계산이 굉장히 빠르고 정확해서 수학 성적이 높은 편입니다. 하지만 그 성적이 유지되지 못하는 경우가 적지 않습니다. 반복적인 연산 훈련이 수학적 사고력에는 독으로 작용한 것이지요.
기계적인 연산 훈련은 수학적으로 생각하는 능력을 차단해버리곤 합니다. 숫자만 보면 반사적으로 계산하는 습관이 몸에 밴 아이들은 문제를 정확히 읽지 않고 계산부터 하려고 합니다. 그러다 보니 실수도 많지요. 또 여러 가지 방법으로 해결해야 하는 문제인데, 자기가 훈련해 온 한 가지 방법 이외에는 다른 방법을 생각하지 못해서 애를 먹기도 합니다.
학년이 올라가면서 점차 깊어지는 수학을 따라가려면, 수학적 문제 상황을 정확하게 이해하고 다양한 방법으로 문제를 해결할 수 있는 능력을 길러야 합니다. 이것이 바로 수학적 사고력입니다. 그러나 연산 훈련이 사고력 향상을 방해하는 겁니다.

서브이미지

사고력에 해가 되지 않는 연산 연습 방법이 있나요?

“그렇다고 연산 연습을 안 시킬 수는 없잖아요.”
이렇게 불안해 하는 분들이 있습니다. 그 말도 맞습니다. 자연수, 분수, 소수의 사칙연산 기능은 빠르고 정확할수록 문제해결 과정에 도움이 되는 것이 사실입니다. 하지만 기계적으로 반복되는 연산 연습은 오히려 문제해결능력이라는 수학적 사고력에 방해가 된다는 것 또한 증명되었습니다. 그렇다면 수학적 사고력을 키우면서 연산도 연습하는 방법을 찾아봐야 하는 것 아닐까요? 여기에 그 답이 있습니다.

첫째, 연산을 실제 상황과 연결 지어 연습합니다.

예를 들어 128÷3을 풀어 보겠습니다. 연산 연습을 위해서는 세로셈으로 계산하는 방법이 가장 빠른 방법이겠지요.
이번에는 문제를 실생활에서 겪을 수 있는 상황으로 연결 지어 볼까요? 예를 들어 테니스 코치 선생님이 학생에게 과제를 내줍니다. “자, 연습하기 전에 여기 공들을 세 박스에 똑같이 나눠 담도록! 공은 전부 128개다.” 어떤가요? 박스와 공이라는 실물을 머리에 그리니 종이에 쓰인 숫자보다 더 감이 오지 않나요? 감을 잡고 어림짐작할 수 있다는 것은 아주 중요합니다. 실수를 줄일 수 있거든요. 몫을 잘못 구했거나 나머지를 잘못 구했을 때에도 실제 상황으로 연결 지어 생각하면 뭔가 이상하다는 것을 쉽게 감지합니다. ‘공이 8개가 남으면 박스에 두 개씩 더 넣으면 되잖아.’, ‘128개를 3박스에 담았는데 4개씩밖에 안 들어갈 리가 없어.’라며 다시 한 번 생각하는 것이죠. 또 공을 42개씩 3박스에 담으면, 공이 2개가 남으니까 42×3+2=128이라는 역연산도 쉽게 떠올릴 수 있습니다. 이렇게 연산을 실제 생활과 상황으로 연결 지어 연습을 하면 시간은 더 많이 걸릴 거예요. 하지만 더 정확하고 다양하게 생각할 수 있습니다.

둘째, 틀리는 원인을 정확히 파악합니다.

문제를 틀렸을 때는 원리를 잘못 이해한 것이 원인인지, 사칙연산이 익숙지 않아 실수한 것인지 확실히 파악해 두어야 합니다. 만약 원리를 잘못 이해해서 같은 실수를 반복한다면 위에서 말한 것처럼 실제 상황과 연결 지어 연습을 해야 합니다. 하지만 단순히 계산 실수를 하는 것이라면 반복적인 연습이 필요합니다. 충분한 시간과 노력을 투자해서 연습할 때 실수도 줄어듭니다. 하지만 반복 연습이라고 해서 숫자만 달라지는 연산 문제를 계속 풀게 한다면 수학에 대한 흥미를 떨어뜨리고 맙니다. 그렇다면 어떻게 해야 할까요?
연산 게임 도구를 활용해 보세요. 시중에 나와 있는 다양한 보드게임 중에 사칙연산을 응용한 것이 많습니다. 보드게임을 이용한 연산 놀이를 하다 보면 자연스럽게 연산 실력이 좋아집니다. 다른 아이들이 컴퓨터 게임에 빠져 있는 시간에 가족들이나 또래 친구들과 함께 보드게임을 하면서 규칙, 협력, 양보 등의 인성도 기르고 수학적인 연산 능력도 기르게 하는 건 어떨까요?

셋째, 필요한 부분에 대해서만 연산 연습을 합니다.

아이들마다 유독 어려워하는 부분이 있습니다. 그럴 때는 바로 그 문제 부분에 해당하는 연산 연습만 보완해 주면 됩니다. 예를 들어 항상 곱하기에서 반올림을 빠뜨리는 아이라면 반올림이 있는 곱셈 문제만, 나누기를 할 때 소수점을 옮기는 것에서 실수를 자주 하는 아이라면 소수점 옮기는 문제만 연습하게 해 주세요. 맞춤형 연산 연습이죠. 이미 충분히 잘하고 있는 것까지 반복하는 연산 연습은 수학의 재미만 빼앗아 갑니다. 일의 자리 덧셈부터 시작해서 뺄셈, 곱셈, 나눗셈까지 이어지는 끝없는 연산 문제는 아이들의 말랑말랑하던 뇌를 오히려 딱딱하고 메마르게 만든다는 것, 잊지 마세요.

서브이미지

연산에도 사고력이 필요해요

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 기초 연산에도 사고력이 필요하다는 사실을 알고 계신가요? 인류는 대상을 “하나, 둘, 셋, 넷……” 하고 세기 시작했고, 세다 보니 세야 할 게 너무 많아 이미 센 것끼리 더하기 시작했습니다. 그래서 2개씩 세고, 3개씩 세는 방법으로 곱셈이 등장했고, 이것을 거꾸로 나누며 세는 방식에서 나눗셈이 나왔습니다.
사칙연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 아주 긴밀하게 연결되어 있는 개념입니다. 같은 수를 계속해서 더하는 방식을 간단히 나타내기 위해서 곱셈이 생겨났고, 덧셈의 역연산으로 뺄셈이, 곱셈의 역연산으로 나눗셈이 생겨났습니다. 뿐만 아니라 자연수의 사칙연산 원리가 소수의 사칙연산과 분수의 사칙연산에 적용되고 있습니다. 이렇게 연산에서 기본적인 원리를 다른 연산에 적용할 수 있는데, 연산을 잘하는 아이들도 이런 사실을 잘 모릅니다. 많은 아이가 연산을 기계적으로 외우고, 빠르고 정확한 방법으로 계산하는 것에만 열중하고 있기 때문입니다.
개념을 연결 짓고 확장하는 사고력, 즉 한 가지 원리를 다른 원리에 적용하는 사고력이 있는 아이들은 연산을 깊이 있게 이해하고 적용합니다. 하지만 덧셈 한 가지, 뺄셈 한 가지만 열심히 연습하는 아이는 연습하지 않은 연산을 이해하기 위해서 더 많은 시간과 노력을 들여야 합니다.

그러니 사고력을 기르는 데 목표를 두고 공부를 해야 연산 능력도 더 쉽게 키울 수 있겠지요. 결론적으로 연산 기능은 수학적 사고력을 기르는 데 필요한 하위 기능이라고 할 수 있습니다. 연산만 훈련해서는 사고력 수학까지 발전하기가 어렵고, 사고력 수학을 잘하려면 기본적인 연산 기능이 갖추어져야 한다는 의미이지요. 우리 아이들 세대는 ‘연산을 잘해야 수학을 잘한다’가 아니라, ‘연산도 잘해야 수학도 잘한다’고 말해 주고 싶습니다.

서브이미지

초등학교 수학 교과서, 왜 이렇게 어렵죠?

“초등학생인 아이가 수학 교과서를 가지고 와서 문제를 물어보는데 어떻게 설명해야 할지 모르겠더라고요. 우리 때는 이런 거 안 배운 것 같은데, 요즘 수학 교과서는 왜 이렇게 어렵죠?”
학부모 상담을 하다 보면 종종 이런 질문을 받습니다. 교사인 저도 수학 가르치기가 어려운데 비전공자인 학부모는 당연히 어렵게 느껴지겠지요. 요즘 초등학교 ‘수학’은 부모 세대가 배웠던 ‘산수’와 많이 다르답니다. 산수는 기초 연산을 중심으로 하는 ‘arithmetic’을 뜻하는 말이지만 수학은 수에 대한 학문을 뜻하는 ‘mathematics’입니다. 교과서의 이름을 ‘산수’에서 ‘수학’으로 바꾼 것도 간단한 연산 기능보다는 수학적 사고력을 중점적으로 가르치겠다는 의도를 나타내고 있는 것입니다.
우리 아이들이 배우는 수학은 부모 세대가 배웠던 수학보다 훨씬 고차원적인 사고력을 목표로 하기 때문에 어려울 수밖에 없습니다. 하지만 어렵다고 외면할 수만은 없는 노릇이지요. 부모가 어려워하면 아이들은 더 어려워할 테니까요. 아는 만큼 대비책도 세울 수 있지 않을까요? 요즘 수학 교과서의 특징은 다음과 같습니다.

첫째, 과정을 강조합니다.

사각형의 넓이 구하는 방법을 예로 들어 볼까요? 교과서에서는 여러 가지 사각형을 직사각형 모양으로 잘라서 넓이를 구하는 방법을 알아봅니다. 평행사변형의 넓이는 (밑변)×(높이), 사다리꼴의 넓이는 {(아랫변)+(윗변)}×높이÷2의 공식만 알면 될 것 같은데, 수학 교과서에서는 사각형을 자르고 옮기면서 공식을 찾아내는 과정을 강조합니다. 왜 그럴까요? 그것은 그 공식이 나온 원리를 이해하는 것이 중요하기 때문입니다.
평행사변형의 넓이를 구하는 ‘공식’만 기억하고 있는 아이는 평행사변형의 넓이 구하는 문제는 쉽게 해결할 수 있을 겁니다. 하지만 어떤 모양의 도형이 주어져도 직사각형 형태로 변형시켜서 넓이를 구할 수 있다는 ‘원리’를 이해한 아이는 어떤 모양의 도형이든 넓이를 구할 수 있겠지요. 이렇게 여러 가지 상황 속에서 일반화된 원리나 법칙 등을 찾아내는 것이 바로 ‘수학적 추론 능력’입니다. 또 문제를 이해하고, 문제 해결에 필요한 방법을 선택하고, 문제를 해결한 다음 그 과정을 돌이켜 보는 것이 ‘수학적 문제해결능력’이고요.
요즘 수학 교과서가 어렵게 느껴지는 이유가 여기에 있습니다. 공식을 외워서 문제를 푸는 ‘기계적인 연산’을 강조하지 않습니다. 대신 수학 공식을 찾아내게 하는 수학적 추론 능력, 스스로 계획을 세워서 문제를 순차적으로 해결하도록 하는 수학적 문제해결능력을 습득하게 합니다. 바로 ‘사고력’을 키우는 데 초점을 두고 있는 것이죠.

math_vol6_chart6

둘째, 국어 교과서도 아닌데 자꾸 설명하라고 합니다.

수학 익힘책을 숙제로 내 주면 설명을 해야 하는 문제는 손도 대지 않고 그냥 가지고 오는 아이들이 있습니다. 그래서 왜 안 풀었냐고 물어보면 “어떻게 설명할지 모르겠어요.”라고 대답합니다. 수학을 말이나 글로 설명하는 것은 분명 어렵습니다. 아직 국어도 익숙지 않은 저학년 아이들의 경우에는 더욱 힘들겠죠.
부모 세대가 배운 수학은 ‘말’이나 ‘글’이 거의 없는 수학이었지만, 요즘 수학은 ‘말’이나 ‘글’, ‘그림’, ‘기호’ 등을 아주 다양하게 사용해서 나타냅니다. 그리고 다른 사람들과 표현을 공유하며, 서로 다른 표현 방법 간에 연결 짓는 능력을 아주 중요하게 생각합니다. 이 능력을 ‘수학적 의사소통능력’이라고 하죠. 자신의 생각을 표현하고 다른 사람과 소통할수록 생각의 크기는 커지기 마련입니다. 아이들은 자신의 생각을 설명하면서 헷갈렸던 내용은 다시 한 번 찾아보게 되고, 잘못 알고 있던 내용은 다른 사람들과 대화를 하면서 바로잡게 됩니다. 자꾸 설명하라는 문제는 사고력을 높여 주기 위한 문제인 것입니다.

서브이미지

어려운 사고력 수학, 어떻게 대비해야 하죠?

수학 교과서가 어려운 이유는 결국 사고력 수학을 목표로 하고 있기 때문이라는 것은 이제 아시겠죠? 그만큼 수학에서 사고력이 중요하다는 것도 알겠고요. 그런데 사고력을 대비해서 무엇을 해 줘야 할지는 감이 안 온다고요? 자, 이제 사고력은 어떻게 기를 수 있을지 알아볼까요?

첫째, 생각할 수 있는 질문을 해 주세요.

요즘 아이들은 생각할 기회가 부족합니다. “합이 얼마야?”, “시험 몇 점 받았어?”와 생각보다는 답을 요구하는 질문들에 둘러싸여 있기 때문이지요. “어떻게 그 답을 구했어?”, “그 문제에서 어디가 틀린 것 같아?”라는 질문을 하면 아이들은 생각하기 시작합니다. 생각하는 습관은 짧은 기간에 길러지지 않습니다. 어렸을 때부터 생각할 수 있는 질문을 자주 던져야 합니다. 그렇게 쌓인 힘이 자연스럽게 수학적 사고력이 되는 것입니다.
또한 ‘그게 이것과는 어떤 관련이 있을까?’ 하는 연결성에 대한 질문을 자주 던져야 합니다. 수학적 사고력은 낱개의 나무가 아닌 수학의 숲이라는 큰 그림을 그릴 줄 아는 능력입니다. 각각이 긴밀하게 연결되어 있는 수학을 서로 연결하며 이해할 수 있도록 질문해 주세요.

둘째, 답을 알려 주고 해결 과정을 설명하게 해 보세요.

아이들은 수학의 목표가 ‘답을 구하는 것’이라고 생각합니다. 이것부터 바꿔야 합니다. 수학의 목표는 ‘사고력을 기르는 것’이라는 것을 알려 줘야 합니다. 그러기 위해서 좋은 연습이 있습니다. 바로 답부터 알려 주고 그 답이 나오는 과정을 설명해 보게 하는 것입니다. 그리고 사람마다 다른 과정을 거쳐서 답을 구하는데, 그 과정에서 다양한 해결 방법을 찾는 사람은 생각이 다양하다는 뜻이고, 그 과정이 논리적인 사람은 생각이 논리적임을 알게 해 주세요. 그러면 아이들은 좀 더 자기의 문제 해결 과정에 초점을 맞출 것입니다. 그 과정에서 자연스럽게 사고력이 향상됩니다.

셋째, 생각을 표현하게 해 주세요.

아이들의 사고 과정을 무엇으로 들여다볼 수 있을까요? 말과 글, 그림 같은 제한적 표현 수단을 통해서입니다. 사실 아이들이 ‘안다’고 하는 것이 진짜 아는 것인지 알 수 없습니다. 그래서 제한적이기는 하지만 말, 글, 그림, 기호 등을 복합적으로 사용하는 방법밖에 없지요. 문제 하나를 풀더라도 그 과정에서 어떤 생각을 하고 있는지를 표현하게 하면 의외로 많은 정보가 드러납니다. 아이가 수학 시험을 보고 왔다면 점수는 묻지 마세요. 다만 틀린 문제에 대해 “어떻게 해서 이 답을 구했는지 말해 볼래?” 하고 물어봐 주세요. 그럼 그 안에서 아이가 잘못 이해한 개념이나 실수한 부분에 대한 정보가 드러납니다. 아이들은 자기의 생각을 표현하는 과정에서 스스로 오류를 찾아냅니다. 그러면서 수학적 사고를 좀 더 단단히 다듬게 되지요. 아이들의 사고를 들여다보는 것이 사고력을 키우는 첫걸음입니다.

넷째, 좋은 학습교재를 골라주세요.

사고력 수학이 주목을 받으면서 시중에는 서술형 문제, 수학 동화, 수학 교구 등이 봇물처럼 쏟아지고 있습니다. 하지만 사고력 수학이 갑자기 등장한 것도 아니고, 그동안 강조하던 수학적 사고력에 도움이 되는 교재들이 ‘사고력 수학’이라는 이름으로 주목을 받는 것뿐입니다. 실제로는 사고력 수학과는 별 관계가 없는데도 ‘사고력’이라는 이름이 붙은 경우도 많습니다. 그러니 교재의 내용을 보고 사고력에 도움이 되는지를 판단하는 안목이 학부모에게 요구됩니다.
그럼 어떤 교재가 좋은 교재일까요? 아이들에게 생각할 수 있는 질문을 던져 주어야 합니다. 원리를 이해시켜 새로운 개념을 쉽게 익힐 수 있도록 하는 교재여야 합니다. 또한 연산에 편중된 학습이 아니라 수학의 전 영역을 골고루 학습하여 통합적 문제해결력을 길러 주는 교재여야 합니다. 그리고 점차 아이들 스스로 좋은 교재를 고르는 안목을 갖도록 선택권을 넘겨 주세요. 아이들도 분명 생각하는 즐거움이 무엇인지를 알고 그 즐거움을 주는 학습교재를 찾을 수 있을 것입니다. 사고력이 자라난 아이들만이 가질 수 있는 특권이기도 합니다.

남미선

남미선은 서울교육대학교에서 초등수학교육을 전공하였고, 현재는 서울갈현초등학교에서 아이들을 가르치고 있다. 수학 학습 부진아를 위한 서술 및 면담 평가에 관한 논문을 썼다. ‘어린이를 위한 수학교육연구회’에서 수학적 사고력 향상과 초등수학 수업을 개선할 수 있는 방법 등을 탐색하는 작업을 하고 있다.